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南京市,盐城市2012届高三年级第一次数学模拟考试试卷及答案

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南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.3 2. 2 3. -4 4. 5.120 6. 7.21 8.充分不必要 9. (或闭区间)
10. 11. 12. 13. 14. 

二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解: (1)因为 ……………………………………………………………4分
 ……………………………………………………………………………………………6分
故 的最小正周期为 ………………………………………………………………………………8分
(2)当 时, …………………………………………………………………10分 
故所求的值域为 ………………………………………………………………………………14分
16.(1)证明:设 ,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以 …………4分
 而 ,所以 面 …………………………………………………7分
 (2)连接PO,因为 ,所以 ,又四边形 是菱形,所以 …………10分
而 面 , 面 , ,所以 面 ……………………………13分
又 面 ,所以面 面 ……………………………………………………………14分
17.解:(1)对于曲线 ,因为曲线 的解析式为 ,所以点D的坐标为 ……2分
所以点 到 的距离为 ,而 ,
则 ………………………………4分
对于曲线 ,因为抛物线的方程为 ,即 ,所以点D的坐标为 ………2分
所以点 到 的距离为 ,而 ,所以 ……………7分
 (2)因为 ,所以 在 上单调递减,所以当 时, 取得最大值为 ……………………………………………………9分
又 ,而 ,所以当 时, 取得最大值为 ……………………11分 
因为 ,所以 ,
 故选用曲线 ,当 时,点 到 边的距离最大,最大值为 分米……………………………14分
18.解: (1)因为 ,且A(3,0),所以 =2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,
从而得 ……………………………………………………………………………………3分 
所以直线BD的方程为 ………………………………………………………………………5分
(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为 ,
所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为 ……………………………………………………8分
又圆心(0,-1)到直线BD的距离为 ,所以直线 被圆 截得的弦长
为 ……………………………………………………………………………………10分
(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线 上,当圆 和圆 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…………………………………………………………………………………………12分
设 ,则 ,根据 在直线 上,
解得 …………………………………………………………………………………………………14分
所以 ,故存在这样的两个圆,且方程分别为
 , ………………………………………………………………16分
19.解: (1)函数 是“( )型函数”…………………………………………………………2分
因为由 ,得 ,所以存在这样的实数对,如 ………………6分
 (2) 由题意得, ,所以当 时, ,其中 ,
而 时, ,且其对称轴方程为 ,
① 当 ,即 时, 在 上的值域为 ,即 ,则 在 上的值域为 ,由题意得 ,此时无解………………………11分
②当 ,即 时, 的值域为 ,即 ,所以则 在 上的值域为 ,则由题意得 且 ,解得 ……………………………………………………………………13分
③ 当 ,即 时, 的值域为 ,即 ,则 在 上的值域为 = ,
则 ,解得 .
综上所述,所求 的取值范围是 …………………………………………………16分
20.解:(Ⅰ)因为 ,所以 时, ,两式相减,得 ,故数列 从第二项起是公比为 的等比数列…………………………3分
 又当n=1时, ,解得 ,从而 …………………………5分
(2)①由(1)得 ,
[1]若 为等差中项,则 ,即 或 ,解得 …………6分
此时 ,所以 ……………………8分
[2]若 为等差中项,则 ,即 ,此时无解………………………………9分
[3]若 为等差中项,则 ,即 或 ,解得 ,
此时 ,所以 ……………11分
综上所述, , 或 , …………………………………12分
 ②[1]当 时, ,则由 ,得 ,
当 时, ,所以必定有 ,所以不存在这样的最大正整数……………………14分
[2]当 时, ,则由 ,得 ,因为 ,所以 满足 恒成立;但当 时,存在 ,使得 即 ,
所以此时满足题意的最大正整数 ……………………………………………………………16分
数学附加题部分
21.A. 证明:连结OE,因为PE切⊙O于点E,所以∠OEP=900,所以∠OEB+∠BEP=900,因为OB=OE,所以∠OBE=∠OEB,因为OB⊥AC于点O,所以∠OBE+∠BDO=900……………5分
故∠BEP=∠BDO=∠PDE,PD=PE,又因为PE切⊙O于点E,所以PE2=PA•PC,
故PD2=PA•PC………………………………………………………………………………………10分
B. 易得 ……3分, 在直线 上任取一点 ,经矩阵 变换为
点 ,则 ,∴ ,即 ……………8分
代入 中得 ,∴直线 的方程为 …………………10分 
C. 解: 的方程化为 ,两边同乘以 ,得 
由 ,得 ………………………………5分
其圆心 坐标为 ,半径 ,又直线 的普通方程为 ,
∴圆心 到直线 的距离 ,∴弦长 ……………………………10分
D. 证明:由柯西不等式得 ……………………………………5分
 则 ,即 ………………………10分
22. 解:(1)以 为正交基底建立空间直角坐标系 ,设 ,
则 , , ,
∵ ,∴ ,∴ ,解得 ……………………………4分
∴PC=1,CQ=1,即 分别为 中点…………………………………………………………5分
(2)设平面 的法向量为 ,∵ ,又 ,
∴ ,令 ,则 , ………………………………………………8分
∵ 为面 的一个法向量,∴ ,而二面角为钝角,故余弦值为 ……10分
23.(1)解:当 时,含元素1的子集有 个,同理含 的子集也各有6个,
 于是所求元素之和为 ……………………………………………5分
 (2)证明:不难得到 ,并且以1为最小元素的子集有 个,以2为最小元素的子集有 个,以3为最小元素的子集有 ,…,以 为最小元素的子集有 个,
则 ………………………………8分



 ……………………………………………………………………10分

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